Определение частот свободных колебаний многоэтажных зданий периодической структуры Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Дашевский Михаил Аронович, Мондрус Владимир Львович, Шутовский Станислав Николаевич

ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ Рассмотрены периодические плоские и пространственные расчетные модели для прямоугольных в плане зданий. Показаны выражения для определения собственных частот свободных колебаний для свободных и несвободных плоских расчетных моделей , а также несвободных пространственных расчетных моделей многоэтажных зданий.

IDENTIFICATION OF NATURAL FREQUENCIES OF MULTISTORIED BUILDINGS OF PERIODIC STRUCTURE

Periodic twoand three-dimensional structural models designated for rectangular-plan buildings are considered in the article. Expressions for identification of natural frequencies designated for unloaded and loaded two-dimensional structural models, as well as non-free three-dimensional structural models of multistoried buildings are provided in the article.

Текст научной работы на тему «Определение частот свободных колебаний многоэтажных зданий периодической структуры»

М.А. Дашевский*, В.Л. Мондрус, С.Н. Шутовский

ФГБОУВПО «МГСУ», *000 «ВИБРОСЕЙСМОЗАЩИТА»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

Рассмотрены периодические плоские и пространственные расчетные модели для прямоугольных в плане зданий. Показаны выражения для определения собственных частот свободных колебаний для свободных и несвободных плоских расчетных моделей, а также несвободных пространственных расчетных моделей многоэтажных зданий.

Ключевые слова: периодическая модель, расчет, колебания, собственные частоты, плоская расчетная модель, пространственная расчетная модель.

Рассмотрим свободные колебания плоских расчетных моделей многоэтажных зданий. Условно такие расчетные модели делятся на несвободные (рис. 1, а) и свободные (рис. 1, б). Несвободные расчетные модели в отличие от свободных имеют дополнительные связи, препятствующие горизонтальному смещению в уровнях расположения сосредоточенных масс.

Для несвободных расчетных моделей, используя метод перемещений, можно показать, что уравнение частот для расчетной модели, изображенной на рис. 1, получается в результате приравнивания нулю определителя канонических уравнений [1]

, а = 2/2, Ь = 2г1, ¡1 = —^, ;2 = _£_

где Вст, Вр — изгибные жесткости стойки и ригеля.

Используя выражения для полиномов Гегенбауэра, уравнение (1) можно записать в виде [2, 3]

Я = \ь (М(2^, -2а, -2а; а),0, -2Ь; Ь)| = П 2(^ - ^ - ) = 0, (3)

Ь 2^ Ь 0 . 0 Ь 2^-2Ь

где ^ , т/ — корни уравнений Ь = 0 и |м| = 0.

Рис. 1. Плоские расчетные модели многоэтажных зданий

Уравнение Ь = 0 для рассматриваемого случая записывается в виде

С12( у) - 2С12 -1( у)=0. (4)

Решая это уравнение, найдем £2 значений величины у( (t = 1, 2. ^). Далее находим

I, = Ьуt. (5) Уравнение м = 0 можно записать в виде

Решая это уравнение, находим £ значение величины у/ (/ = 1, 2. £1) и далее

т/ = ау/. (7) Из (3) следует

£] = Ъ + т/, 7 = 1, 2. к1 • к2. (8)

Подставив в это равенство выражения (2), (5) и (7), получаем формулу для определения частот свободных изгибно-крутильных колебаний расчетной модели в ее

где уг, у/ находятся из уравнений (4) и (6).

Проиллюстрируем полученное решение примером определения частот свободных колебаний простейшей расчетной модели, изображенной на рис. 2. Для этой расчетной

модели примем Е = 2 -10

• 105 см4, к = 300 см,

l = 450 см, M = 2,5-105 ^^, K1 = 3, K2 = 3. При этом ^ = 1,1 -108кг • см,

31 М \ 32 М i2 33 М

Рис. 2. Простейшая модель многоэтажного здания

Для рассматриваемой задачи уравнения (4) и (6) запишутся в виде

С3 (у) - 2С2 (у) = 8у3 - 8у2 - 4у -1 = 0,

(у - 2)С2 (у) +1,5С1 (у) = 4у3 - 8у2 + 2у + 2 = 0.

Корни первого из этих уравнений равны,

у^=1 =-0,585, у(=2 = 0,345, у^=3 = 1,15, а второго у/=1 =-0,37, у/=2 = 1,0, у/=3 = 1,37.

Подставляя эти величины в (9), можно найти все частоты свободных колебаний рассматриваемой расчетной модели по формуле

ш2 = 1,6 • 103 (3,98 -1,1у( - 0,89у/). (10)

Переходя к рассмотрению свободных расчетных моделей, можно показать, что уравнение частот для модели, изображенной на рис. 3, получается из определителя с окаймлением

2 X В 0 0 . 0 . В1

В 2 X в 0 . . . В2

Используя результаты, полученные в настоящей работе, можно приближенно, но с достаточной для практики степенью точности установить границы спектра частот свободных колебаний свободных расчетных моделей.

Подобно тому, как были получены выражения частот свободных колебаний, можно получить выражения для форм свободных колебаний расчетной модели.

Рис. 3. Пространственная несвободная расчетная модель

Для пространственных несвободных расчетных моделей (рис. 3) уравнение частот из-гибно-крутильных колебаний вокруг осей, параллельных оси 0х2 записывается в виде

0 0 в2 2Х2 - 2В2

2X2, В2 — СМ. (2), 2^2 = 8(112 + 122) + 21Кр,2 2©/2, ^2 = 2122, Ь2 = 2/12, (13)

Вст,2 . _ Bp,2 . GIp2

где О — модуль сдвига материала ригелей, параллельных оси 0х2; /р — полярный

момент инерции этих же ригелей.

Решая уравнение (12), получаем формулу для определения частот свободных из-гибно-кругильных колебаний расчетной модели вокруг осей, параллельных оси 0х2,

— ® j2 = 2i12(2 " У) + 2i22 (2 " У/ ) + 'кр.2

где yt, у^ находятся из уравнений (4) и (6); e = 1 при v = 1,2. &3 -1, e = —1 при v = ^3.

При изучении изгибно-кругильных колебаний расчетной модели вокруг осей, параллельных оси 0х1, весь ход решения и вид окончательных результатов останутся теми же. Отличие будет лишь в том, что вместо нижнего индекса 2 появится индекс 1.

При рассмотрении свободных расчетных моделей приходим к окаймленным матрицам, решение которых в замкнутом виде не удается получить.

Что касается поступательных колебаний вдоль оси 0х3, то и для плоских, и для

пространственных расчетных моделей выражения для частот и форм свободных колебаний могут быть получены в замкнутом виде.

У свободных пространственных расчетных моделей с жесткими в своей плоскости дисками перекрытий возможны колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кручения расчетной модели в плане. В этом случае расчетная модель фактически ведет себя как одномерная, и выражения для частот и форм свободных колебаний также могут быть получены в замкнутой форме.

1. Волъфсон Б.П. О распространении волн в моделях зданий и сооружений с внутренним трением // Строительная механика и расчет сооружений. 1971. № 5. С. 105—112.

2. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М. : Интеллект, 2007.

3. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

4. Бриллуэн Л., Породи М. Распространение волн в периодических структурах. М. : ИЛ, 1959.

5. Banakh L., Kempner M. Vibrations of mechanical systems with regular structure. Springer, 2010.

6. Mead D.J. Wave propagation in continuous periodic structures: research contributions from southampton, 1964—1995. Journal of Sound and Vibration (1996) 190(3), p. 495—524.

Поступила в редакцию в феврале 2012 г.

Об авторах: Дашевский Михаил Аронович — доктор технических наук, старший научный сотрудник, технический директор, ООО «ВИБРОСЕИСМОЗАЩИТА», 129327, Москва, ул. Коминтерна, д. 20/2, стр. 1, тел. (495) 650-41-52, michdash@mail.ru;

Мондрус Владимир Львович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495) 287-49-14, доб. 3141, mon-drus@mail.ru;

Шутовский Станислав Николаевич — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495) 287-49-14, доб. 3141, shutovskii@mail.ru.

Для цитирования: Дашевский М.А., Мондрус В.Л., Шутовский С.Н. Определение частот свободных колебаний многоэтажных зданий периодической структуры // Вестник МГСУ. 2012. № 2. С. 35—40.

M.A. Dashevskij, V.L. Mondrus, S.N. Shutovskij

IDENTIFICATION OF NATURAL FREQUENCIES OF MULTISTORIED BUILDINGS OF PERIODIC

Periodic two- and three-dimensional structural models designated for rectangular-plan buildings are considered in the article. Expressions for identification of natural frequencies designated for unloaded and loaded two-dimensional structural models, as well as non-free three-dimensional structural models of multistoried buildings are provided in the article.

Key words: periodic model, analysis, vibration, natural frequencies, waves, modes, two- dimensional structural model, three-dimensional structural model.

1. Vol'fson B.P. O rasprostranenii voln v modeljah zdanij i sooruzhenij s vnutrennim treniem [On propagation of Waves in Models of Buildings and Structures That Feature Internal Friction]. Stroitel'naja mehanika i raschet sooruzhenij [Structural Mechanics and Analysis of Structures]. 1971, Issue # 5, pp. 105—112.

2. Nikiforov A.F., Uvarov V.B. Special'nye funkcii matematicheskoj fiziki [Special Functions of Mathematical Physics]. Moscow, Intellect, 2007.

3. Szego G. Ortogonal'nye mnogochleny [Orthogonal Polynomials]. Moscow, Gosudarstvennoe iz-datel'stvo fiziko-matematicheskoj literatury [State Publishing House of Physical and Mathematical Literature], 1962.

4. Brillouin L., Parodi M. Rasprostranenie voln v periodicheskih strukturah [Propagation of Waves in Periodic Structures]. Moscow, Inostrannaja literatura, 1959.

5. Banakh L., Kempner M. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure. Springer, 2010.

6. Mead D. J. Wave Propagation in Continuous Periodic Structures: Research Contributions from Southampton, 1964—1995. Journal of Sound and Vibration (1996) 190(3), pp. 495—524.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎