Лекции функции нескольких переменных 3

Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку M o ( x o , y o , z o ), перпендикулярно заданному вектору ( нормали) , имеет вид:

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку М 0 , параллельно заданному вектору (направляющему вектору) , было получено в виде:

В качестве вектора нормали примем вектор градиента в точке М 0 . Этот же вектор возьмем в качестве направляющего вектора для нормали (нормальной прямой).

Тогда для неявного задания поверхности вектором нормали будет ,

уравнение касательной плоскости в точке М 0 :

и уравнение нормали:

Для явного задания поверхности вектором нормали будет , уравнение касательной плоскости в точке М 0 :

и уравнение нормали:

Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду в точке и уравнение нормали к параболоиду в этой точке.

Пусть – точка на плоскости . Так как , , то , . Следовательно, вектором нормали к параболоиду в точке . будет вектор . Учитывая также, что , получаем искомое уравнение касательной плоскости (5):

Уравнение нормали (нормальной прямой) (6) в данном случае имеет вид:

Экстремум функции двух переменных.

Определение. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует -окрестность этой точки такая, что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство

Если здесь знак равенства исключен (кроме случая ), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Если функция имеет в данной точке локальный максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).

Теорема 1 : (необходимое условие экстремума)

Если функция достигает экстремума в точке M o ( х o , у o ), то обе частные производные первого порядка от этой функции в точке M o равны нулю или не существуют.

Доказательство : Зафиксируем одну переменную у=у 0 , тогда функция становится функцией одной переменной х . Известно, что в точке экстремума производная функции одной переменной (в данном случае ) равна нулю или не существует. Аналогично можно показать, что равна нулю или не существует производная .

Точки в которых все частные производные функции равны нулю или не существуют, называются- критическими .

Теорема 2 : (достаточное условие экстремума)

Пусть в окрестности критической точки M o ( х o , у o ) функция имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка. Введём обозначения: , .

Тогда в точке M o , функция:

1) Имеет максимум, если ,

2) Имеет минимум , если ,

3) Не имеет экстремума, если ,

Если же , экстремум может быть или не быть, требуются дополнительные исследования.

Пример . Исследовать на экстремум функцию .

1) Найдём критические точки:

Вторые частные производные:

2) исследуем критические точки:

Пример . Найти экстремумы функции .

1)Найдём критические точки:

Одна критическая точка.

Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции в замкнутой области ( и )следует:

1) Найти критические точки функции внутри области и значения функции в этих точках.

2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции на границе Г области .

3) Выбрать среди найденных в пунктах 1) и 2) значений наибольшее и наименьшее.

1) Найдём критические точки внутри области D (учитывая, что там ) и значения функции в этих точках:

а) на границе имеем Подставим это выражение в функцию: — на этой границе функция имеет один аргумент. Находим для этой функции наименьшее и наибольшее значение на отрезке . Критические точки этой функции: 

. Значения функции в этих точках и на границах отрезка : .

б) На границе у=0 имеем .

в) На границе х=0 имеем .

3) Среди найденн ых в пунктах 1) и 2) значений функции: z (2, 1)=4; , ; выбираем наименьшее и наибольшее:

Нахождение условного экстремума методом Лагранжа.

Определение : Экстремум функции , при выполнении некоторого условия , называется условным экстремумом.

Если условие задано явно, например, , то соответствующий условный экстремум можно находить как безусловный экстремум для функции одной переменной .

Алгоритм метода Лагранжа позволяет находить условный экстремум при неявном задании условия и заключается в следующем:

1) Запишем функцию Лагранжа .

2) Найдем критические точки ( k – номер критической точки) для функции из необходимого условия экстремума функции трех переменных:  .